BAB I
PENDAHULUAN
Fungsi non-linier merupakan
model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan fungsi linier dalam
penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier yang ada,
sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non-linier.
Ada 4 macam bentuk fungsi
non-linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi, yaitu :
- Fungsi Kuadrat
- Fungsi Kubik
- Fungsi Eksponensial
- Fungsi
Logaritma
Diantara ke empat fungsi
nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat.
BAB II
PEMBAHASAN
1. Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadart adalah fungsi
yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua.
Gambar fungsi kuadrat bisa
berupa :
-
Lingkaran
- Elips
- Parabola
- Hiperbola
Tetapi dalam penerapan ekonomi,
yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat yang berbentuk PARABOLA.
Bentuk yang lebih umum dari fungsi kuadrat :
a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + p X Y + e = 0
dimana a
atau b ¹ 0
sebuah fungsi kuadrat jika
mempunyai ciri-ciri berikut ini maka :
Jika p = 0 dan a = b ¹ 0 
bentuk kurvanya
Lingkaran
bentuk kurvanya
Lingkaran
p 2 – 4 a b < 0 ; a ¹ b dan tanda sama bentuk kurvanya
Elips
bentuk kurvanya
Elips
p 2 – 4 a b > 0 ; a & b
tanda berlawanan bentuk kurvanya
Hiperbola
bentuk kurvanya
Hiperbola
p 2 – 4 a b = 0 bentuk kurvanya
Parabola
bentuk kurvanya
Parabola
berati jika salah satu saja
yaitu jika a = 0 atau b = 0 tetapi tidak keduanya, maka kurvanya
akan berbentuk Parabola
A. LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat
kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang
disebut pusat.
Bentuk umum persamaan lingkaran :
a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0
Lalu ubah bentuk persamaan
menjadi ( X – i ) 2
+ ( Y – j ) 2 = r 2
Dimana: i = 
; j = 
dan r
= 
; j = dan r
=
Maka, i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu
Y
j = jarak pusat
lingkaran terhadap sumbu X
r = jari-jari
lingkaran
Lingkaran bisa digambarkan jika
nilai r 2 > 0
Titik potong lingkaran pada
sumbu koordinat dapat dicari dengan memisalkan masing-masing X = 0 dan Y = 0
secara bergantian.
Jika, i > r à lingkaran tidak memotong sumbu Y
j > r à lingkaran tidak memotong sumbu X
Contoh :
3 X 2 + 3 Y 2
– 24 X – 18 Y = 33 : 3
X 2 + Y 2 – 8 X – 6 Y = 11
i = = 
= 4 j = = 
= 3
= = 4 j = = = 3
dan r
= = 
= 
= 6
= = = 6
jadi lingkaran tersebut
mempunyai titik pusat pada sumbu koordinat
( 4 ; 3 ) dengan jari-jari
lingkaran = 6
 |
B. ELIPS
Elips adalah tempat kedudukan
titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling
tegak lurus. Sumbu yang panjang disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut
Sumbu Minor. Titik potong antara kedua sumbu elips tersebut merupakan pusat
elips ybs.
Bentuk Umum Persamaan Elips :
a X 2 + b Y 2 + c X + d
Y + e = 0
dimana : a tandanya sama dengan b tetapi
nilai a 
b
b
Pusat dan jari-jari elips
dirumuskan sebagai berikut :
jika r
= r
maka akan
menjadi lingkaran.
Contoh :
Tentukan pusat , jari-jari dan
perpotongan kurva elips dengan masing-masing sumbu koordinatnya ( sumbu X dan Y
) dari persamaan elips berikut :
8 X 2 + 2 Y 2 - 32 X - 12 Y + 18 = 0 : 2
4 X 2 + Y 2 - 16 X - 6
Y = - 9
4 X 2 - 16 X + Y 2
- 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + k + Y 2
- 6 Y + k = - 9 + k + k
+ Y 2
- 6 Y + k = - 9 + k + k
(4 X 2 - 16 X + 16)
+ (Y 2 - 6 Y + 9) = - 9 + 16 + 9
4 (X – 2) 2 + (Y – 3) 2 = 16 : 16
+ 
= 1 à 
+ 
= 1
Dengan demikian : i = 2 dan j = 3
r = 2 dan r= 4
= 2 dan r= 4
Berarti : pusat elips ada pada
titik ( 2 ; 3 )
Karena r < r maka sumbu
mayor elips // sumbu vertikal Y
< r maka sumbu
mayor elips // sumbu vertikal Y
r adalah
jari-jari pendek dan radalah jari-jari panjang
adalah
jari-jari pendek dan radalah jari-jari panjang
Hitunglah : pada titik
koordinat berapakah terjadi perpotongan kurva elips dengan sumbu X dan sumbu Y.
 |
C. HIPERBOLA
Hiperbola adalah tempat
kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu
konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan
sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara
asimtot-asimtot) merupakan pusat hiperbola.
Bentuk umum persamaan hiperbola
:
a X 2 + b Y 2
+ c X + d Y + e = 0 ; dimana a dan b
berlawanan tanda
Pusat hiperbola dapat dicari
dengan cara :
dimana
sumbu lintang // sumbu X
atau 
dimana
sumbu lintang // sumbu Y
dimana
sumbu lintang // sumbu Y
dimana ( i , j ) adalah koordinat titik pusat
hiperbola
Jika nilai m = n maka
asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagi sejajar
salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisi.
D. PARABOLA
Parabola adalah tempat
kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah
garis lurus yang disebut direktriks.
Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik
ekstrim.
 |
 |
 |
 |
Persamaan parabola :
§ y = a X 2 + b X +
c jika sumbu simetri // sumbu vertikal
(sumbu y)
§ X = a Y 2 + b Y + c jika sumbu simetri // sumbu horisontal (sumbu
x)
Titik Ekstrim : 
Jarak titik ekstrim 
Jarak titik ekstrim
Jarak titik ekstrim
Pada sumbu Y pada sumbu X
Contoh: Tentukan titik ekstrim dan perpotongannya
dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu x dan y) dari parabola berikut :
Y = - X 2 + 6 X – 2
Sumbu simetri sejajar sumbu Y
Karena nilai a
= - 1 < 0 ; maka parabolanya menghadap ke bawah.
Titik ekstrimnya terletak di
atas atau titik maksimum, dengan titik
koordinat :
= 
=
= ( 3 , 7 )
Perpotongan dengan sumbu Y
terjadi pada saat X = 0 à Y = - 2
Perpotongan dengan sumbu X
terjadi pada saat Y = 0 à
0 = - X 2 + 6 X – 2
Dengan menggunakan rumus a b c
diperoleh
X = 5,65 dan
X = 0,35
= 5,65 dan
X = 0,35
y
(3,7)
7
y
= -x2
+ 6x - 22
x
= 3 sumbu simetri
x
0 0,35 3 5,65
-2
Latihan : Pada Buku Dumairy hal
141 – 142
Nomor : 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10
2. Penerapan Ekonomi Fungsi Non-linier
A. Fungsi
Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar
 |
|||
 |
|||
Analisisnya
sama dengan persamaan
Linier, hanya
bentuk fungsinya tidak
|
Linier.
Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang
ditunjukkan oleh persamaan ® Q
d = 19 – P 2
Q s
= - 8 + 2 P 2
Ø Berapa harga keseimbangan dan
jumlah barang keseimbangan ?
Jawab : titik Keseimbangan
terjadi pada saat Q d = Q s
19 – P 2
= - 8 + 2 P 2
19
+ 8 = 2 P 2 + P 2
27 = 3 P 2
P 2
= 9 ® P = Ö 9 = ± 3
Jika nilai P = 3 à Q
= 19 – P 2 = 19 – 3 2
= 19 – 9 = 10
Jadi harga yang terjadi pada
titik keseimbangan Rp 3,00 dan jumlah permintaan pada titik keseimbangan 10
unit.
Ø
Jika dikenakan pajak spesifik ( pajak tetap ) sebesar t = 1
Ø
Berapa harga dan jumlah barang pada titik
keseimbangan?
Fungsi
penawaran setelah pajak Q s = - 8 + 2 ( P – t ) 2
Q s = - 8 + 2 ( P – 1) 2
Q s
= - 8 + 2 ( P 2 – 2 P
+ 1 )
Q s =
- 8 + 2 P 2 – 4 P + 2
Q s
= - 6 + 2 P 2 – 4 P
Titik keseimbangan setelah kena
pajak ® Q d
= Q s yg baru
19 – P2 = - 6 + 2 P2 – 4 P
0 = 2 P2 + P2 – 4 P – 6 – 19
0 = 3 P2 – 4 P – 25 ® 3 P2 – 4 P – 25 = 0
Untuk mencari nilai P
gunakan rumus abc ® X 12 = 
P12 = 
® P12
= 
® P12
=
P12 = 
® P12 = 
® P1 = 
= 3,63 (yang dipilih)
® P12 = ® P1 = = 3,63 (yang dipilih)
® P2 = 
= - 2,2967
= - 2,2967
Q d = 19 – P 2 = 19 – ( 3,63 ) 2
= 19 – 13,1769 = 5,8231 
6
6
Jadi harga keseimbangan setelah
ada pajak Rp. 3,63 dan jumlah permintaan setelah ada pajak 6 unit
B. Penerapan
Fungsi non-linier dari Fungsi Biaya
Bentuk non-linier dari fungsi biaya ® Fungsi Parabola
® Fungsi Kubik
Ø Biaya Tetap ( FC ) = konstanta
Ø Biaya Variabel ( VC ) = f ( Q )
Ø Biaya Total ( TC )
® C = FC + VC = k + f ( Q )
Ø Biaya Marginal = 
a). Fungsi Biaya Total ® TC = a Q 2 – b Q + c ® Fungsi Parabola
 |
b).
Fungsi Biaya Total ® TC = a Q 3 – b Q 2
+ c Q + d ® Fungsi Kubik
 |
|||||
 |
|||||
 |
|||||
Kasus : Biaya total 
TC = 2 Q 2
– 24 Q + 102 Parabola
TC = 2 Q 2
– 24 Q + 102 Parabola
Ø Pada tingkat produksi berapa
unit, biaya total ini minimum ?
Ø Hitung biaya total minimum ?
Ø Hitung biaya tetap, biaya
variabel, biaya rata-rata, Biaya tetap
rata-rata, biaya variable rata-rata ?
Ø Jika produksi dinaikkan sebesar
1 unit, berapa besarnya biaya marginal ?
TC minimum titik ekstrim
parabola
Q pada TC minimum = 
= 
= 
= 6 unit
= = = 6 unit TC (Biaya
Total) pada produksi minimum = 2 Q 2
– 24 Q +102
= 2
(6) 2 – 24 (6) + 102 = 30
TC minimum pada ordinat
titik ekstrim parabola.
TC total minimum = 
= 
= 30
= = 30
Pada Q = 6
FC = 102
VC = 2Q 2 – 24Q = 2 ( 6 ) 2
– 24 ( 6 ) = - 72
C. Fungsi
Penerimaan, Keuntungan dan Kerugian serta Titik Impas dari Fungsi Non-linier
Fungsi penerimaan bentuk umum fungsi parabola
menghadap ke bawah pada Produsen di
pasar monopoli.
bentuk umum fungsi parabola
menghadap ke bawah pada Produsen di
pasar monopoli.
Sedang bentuk fungsi penerimaan
akan linier untuk produsen di pasar persaingan sempurna
TR = Q X P = f (Q) total
penerimaan
total
penerimaan
= AR rata-rata
penerimaan
= MR penerimaan
marginal
Dimana T I = titik impas
Besar kecilnya keuntungan
diperlihatkan oleh besar kecilnya selisih, positif antara TR dan C
Keuntungan maximum tidak selalu
terjadi pada saat TR maksimum.
Contoh: Fungsi
permintaan yang dihadapi seorang produsen monopolis
Fungsi
permintaan yang dihadapi seorang produsen monopolis
P = 30 – 1,5 Q.
Ø Bagaimana persamaan penerimaan totalnya ?
Ø Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum
dan berapa besarnya penerimaaan total ?
TR = Q x P = Q x ( 30 – 1,5 Q ) = 30 Q – 1,5 Q 2 parabola
parabola
TR Maksimum pada titik ekstrim parabola
TR Maks pada Q = = 
= 
= 10
= = = 10
TR Maks 30 Q – 1,5 Q 2
30 Q – 1,5 Q 2
30 (10) – 1,5 (102) = 300 – 150
= 150 à bisa juga dari rumus ()
)
Ø Jika biaya total diperlihatkan oleh TC = 0,25 Q 3 – 3 Q 2 + 7Q + 20
Hitunglah ke 
an perusahaan, jika terjual barang sebanyak 10 dan 20
unit.
an perusahaan, jika terjual barang sebanyak 10 dan 20
unit. = TR - TC =
( 30 Q – 1,5Q 2 ) – ( 0,25 Q 3 – 3 Q 2 + 7Q +
20 ) = 30 Q – 1,5 Q 2 -
0,25 Q 3 + 3 Q 2 - 7Q – 20 = - 0,25 Q 3 + 1,5 Q 2
+ 23 Q – 20
Pada saat Q = 10 = - 0,25 (10) 3 + 1,5 (10) 2 +
23 (10) – 20
= - 0,25 (10) 3 + 1,5 (10) 2 +
23 (10) – 20= - 250 + 150 + 230 – 20= 110
Ø Jadi keuntungan perusahaan, jika barang terjual sebanyak 10 unit adalah
sebesar Rp. 110,00
Pada saat Q = 20 = - 0,25 (20) 3 + 1,5 (20) 2 +
23 (20) – 20
= - 0,25 (20) 3 + 1,5 (20) 2 +
23 (20) – 20= - 2000 + 600 + 460 – 20= - 960
Ø Jadi perusahaan jika barang terjual sebanyak 20 unit, maka perusahaan
akan rugi sebesar Rp. 960,00
D. Fungsi
Eksponensial
E.
Kurvanya ada di
kuadran I dan II pada sistem koordinat
Bentuk sederhana :
y = n x n > 0
Bentuk umum :
n e k x + C n 0 k,c = konstanta
0 k,c = konstanta
Kurvanya
asimtotik terhadap garis y = c
Titik potong kurva eksponensial = y = n e k x + C
 |
|||
 |
Pada sumbu x
{ 
ln 
; 0 } dimana y = 0
{ ln ; 0 } dimana y = 0
Pada sumbu y { 0 ; n + c }
dimana x = 0
{ 0 ; n + c }
dimana x = 0
Contoh : - Tentukan titik potong kurva ekponensial
y = 2 e 0,5 x – 4 pada masing-masing
sumbu koordinat dan gambarkan kurvanya
- Hitunglah f (3)
Titik potong sumbu x 
l n 
= 2 ln 
= 2 (0,69) =
1,39.
l n = 2 ln = 2 (0,69) =
1,39.
Titik potong sumbu y n + c = 2 – 4 =
- 2
n + c = 2 – 4 =
- 2
Nilai f (3) à X = 3 y = 2 e 0,5
(3) – 4 y = 2 e 1,5
– 4
y = 2 e 0,5
(3) – 4 y = 2 e 1,5
– 4
y = 2
(4,48) – 4 = 4,96
 |
|
E. Fungsi
Logaritmik
Merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, yang variable bebasnya
merupakan bilangan logaritma
Bentuk sederhana : y = n
log x n > 0
n 0
0
Bentuk umum : y = a ln (1+x) + b x
> -1
Kurvanya ada disebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x
= -1
Titik potong dengan sumbu –x ; y = 0 { e – (
) – 1 ; 0 }
{ e – () – 1 ; 0 }
Titik potong dengan sumbu – y ; x = 0 { 0 ; b }
{ 0 ; b } |
latihan : Tentukan titik potong kurva logaritmik y = 2 ln ( 1 + x ) + 6
Hitunglah f (4)
Ø Penerapan Ekonomi Fungsi
Eksponensial Dan Fungsi Logaritmik
Biasanya digunakan untuk menganalisis masalah pertumbuhan.
Meskipun demikian kurva permintaan, penawaran, biaya dan penerimaan juga
bisa dianalisis dengan fungsi ekponensial dan fungsi logaritmik Untuk itu
analisisnya sama dengan fungsi linier yang berbeda hanya bentuk fungsinya saja.
Untuk itu
analisisnya sama dengan fungsi linier yang berbeda hanya bentuk fungsinya saja.
a)
Model Bunga Majemuk : Fn = P ( 1 + 
) m.n merupakan
fungsi eksponsial.
) m.n merupakan
fungsi eksponsial.
Fn = jumlah pinjaman / tabungan
P = jumlah pada tahun
awal ( ke nol )
i = Hitungan bunga
per tahun
m = frekuensi
pembayaran per tahun
n = jumlah tahun
Jika bunga diperlakukan harian (m = 360) maka model tersebut menjadi:
Fn = Pe m e
2,7278
2,7278
Contoh kasus:
Seorang ibu
rumahtangga meminjam uang Rp. 5 juta pada seorang pelepas uang untuk jangka
waktu 2 tahun . bunga setingkat 10% per tahun diperhitungkan secra harian
(dalam bisnis: 1 tahun = 360 hari). Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh
debitor pada saat hutangnya jatuh tempo.
1. Dengan rumus bunga majemuk biasa: Fn 
) mn
) mn
a)
Tanpa
menggunakan logaritma:
F2 =
5.000.000 
)360x2
)360x2
=
5.000.000 (1,0003) 720
= 5.000.000 (1,24) =
6.200.000
b) Dengan menggunakan logaritma:
F2 =
5.000.000 (1,0003) 720
Log F2
= 5.000.000 + 720 log 1,0003
Log F2 = 6,70 + 0,09
Log F2 = 6,70 F2
= 6.200.000
2. Dengan rumus bunga majemuk biasa: Fn 
Pe in
Pe in
a)
Tanpa
menggunakan logaritma:
F2 
5.000.000 
0,10 x 2
5.000.000 0,10 x 2
5.000.000 0,20 5.000.000 (1,22) 6.100.000
b)
Dengan
menggunakan logaritma:
F2 
5.000.000 
0,20
5.000.000 0,20
ln F2 In 5.000.000 + 0,20 ln 
In 5.000.000 + 0,20 ln
ln F2 In 15,42 + 0,20
In 15,42 + 0,20 
F2 = 15,62 F2 = 6.100.000
Jadi,
jumlah pelunasan hutang tersebut adalah sekitar Rp. 6, 10 juta atau tepatnya
Rp. 6,20 juta.
b)
Model pertumbuhan
Pt = P1 R t -1 R = 1 + r
Pt = jumlah penduduk pada periode ke t
P1 = jumlah penduduk pada periode ke 1
Contoh kasus :
Lembaga penelitian ekonomi
nasional memulai operasinya dengan 10 orang peneliti. Setiap tahun setiap
peneliti merekrut 2 orang peneliti baru. Berapa orang jumlah tenaga peneliti di
lembaga tersebut setelah beroperasi 5 tahun ?
N1 = 10
R = 1 + 2
T = 5
Nt = N1 . 
N5 =
(10) 
= (10)(81) = 810 orang
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy. 2011. Matematika Terapan
untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta.
Siswanto. 2010. Algoritma dan
Struktur Data Non Linear Dengan Java. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Bandung Arry Sanjoyo dkk. Matematika
Bisnis dan Manajemen. Jakarta: Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah
Kejuruan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar