Kamis, 24 Oktober 2013

#5 berulang kali aku berdo'a

Bukankah dulu semua diluar itu?
Apa kau pernah memintaku pada Tuhan agar aku menyukaimu, menyayangimu, mencintaimu seperti juga yang kamu rasakan terhadapku?
Apa kau pernah meminta kepada tuhan agar dijodohkan denganku?
Jika pernah, kenapa tuhan tidak mengabulkannya? Bukankah kau orang baik? Kenapa tuhan tidak menghadiahkannya sebagai pembalasan.
Berkali aku memohon agar tuhan membalikan perasaanku, agar tuhan membuat aku jatuh cinta dan sayang padamu, agar aku mampu membalas kasihmu. Mungkin tuhan tidak mengabulkan do’aku karna aku berinvestasi banyak dalam hal dosa. Tapi kenapa harus tak mengabulkan do’amu, orang baik.
Hal serupa ingin aku ketahui pula dari orang tuaku. Bukankah mereka sangat berharap aku bias menerimamu, bisa berjodoh denganku. Tapi apa pernah mereka berdo’a setidaknya agar aku tak membuat malu mereka, agar aku tak menjatuhkan harkat martabat mereka, agar aku dengan senang  hati menjalani hidup sesuai dengan harapan –harapan mereka. Apa pernah ????
Berulang kali aku berdo’a…
Bukankah aku berdosa,
Tak mampu membahagiakan orang tua, tak mampu membalas budi jasa,
Tak mampu menata rasa, menganiyaya diri dan orang lain, berkali putus asa
Tak mampu membuat semua orang bahagia
Malah memecah tangis menderu derai tawa kecewa.

Berulang kali aku berdo’a…

beng-beng (phoem)

Beng-beng

Rasanya beng-beng
Double siksa, nyata
Luka asli, renyah
Menggigit
Menghantam,
Menerjang,
Membadai samudra
Membanting tak karuan

Empat kelezatan sekali gigit

puisi pecundang sayang

Kota kembang, 06/09/13
Pecundang sayang
Di perbatasan itu,
Menunggumu beribu menit lamanya,
Dipenghujung sesak nafas yang tersengal
Lagi, aku berharap kau menoleh
Tersenyum,
atau sekedar melambaikan tangan

Menyusuri jalan yang sama,
Menapaki batu terjal yang enggan berpindah
Kering, kasar, gersang
Berdebu

Kembali aku di perbatasan
Untuk sesuatu yang kau janjikan
Bajingan!
Kau tak datang

Kau mungkin lupa jalan pulang
Tersesat dan sekarat
Sayang pecundang
Kau Bahkan tak memberiku salam perpisahan

Disela rasa lapar
Kenyang seketika aku dibuatnya
Kau melempar senyum
Mengais tangan dan menciumnya
Oekk~Ingin muntah saja rasanya.
Norak!
Kisah ini klasik sekali,
Jadoel dan bau apek

Basi!

phoem

Kota kembang, 05/09/13
Kota kembang
“Ini memang kota kembang,
Namun tak lantas kau dapat bunga berbuket,
Atau bebas memetik bunga seenaknya”.

Kota ini kota kembang,,
Lihatlah!
Beragam bunga tumbuh di tanahnya,
Ciumlah !
Semerbak aroma mewangi di udaranya,
Nafasnya kau endus perlahan
Menyegarkan..

Aku bilang ini kota kembang !
Warna warni dipandang,
Bermacam bunga tertanam,
Berjuta nama terpajang

Hei !
tidakkah kau dengar ?
Ini kota kembang !
Mengapa kau masih menanti hujan ???






Politik imagologi
Jauh panggang dari api.
Politik kau jadikan konsumsi (?)
Pilihannya tak sama!
Kau gerus nalar kritis public

Visualisasi imagologi,
Distorsi komunikasi,
Immortality,
Politik masa kini!

“kader berkualitas mana?”
Artis kau jadikan legisilator!
Pertontonkan kemudian,,
Kedustaan, kepalsuan
Ajang parody politik semata

Hedonis,
Koruptif,
Nasib bangsa nelangsa,
Sia-sia






Eudaimonia (jauh dari kebahagiaan)
Seperti memeluk gunung,
Menanti tak henti,
Berjuang dipermainkan

Menahan matahari,
Silau~menyakitkan

Hibernasi
Manja,
Kau anyam bulu mata,
Menyilang tanagan,
Mengatup lengan,
Pertemukan sikut dengan lutut.

Ini kaki ku!
Ku sentil ‘belly’ gendutmu,
Kau perbaiki letak tidurmu.
Hibernasi..

Kuangkat ‘whiskers’mu
Oh, kau tak punya jambang!
Kutendang kau, dan..
Paw !!!




Nothing
Aku menatap kosong
Lembar bergaris tak terisi
Berbulan lamanya
Tak pernah tersapa
Tak tersentuh tinta ‘durjana’

Berjam-jam lamanya
Aku menuang kisah
Menggores resah
Memecah segala membuncah


non linier

BAB I
PENDAHULUAN

Fungsi non-linier merupakan model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan fungsi linier dalam penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier yang ada, sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non-linier.
Ada 4 macam bentuk fungsi non-linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi, yaitu :                       
                                                      - Fungsi Kuadrat
                                                      - Fungsi Kubik
                                                      - Fungsi Eksponensial
      - Fungsi Logaritma
Diantara ke empat fungsi nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat.

















BAB II
PEMBAHASAN

1.      Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadart adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua.
Gambar fungsi kuadrat bisa berupa :
                                                                                - Lingkaran
-   Elips
-   Parabola
-   Hiperbola
Tetapi dalam penerapan ekonomi, yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat yang berbentuk PARABOLA.
Bentuk yang lebih umum  dari fungsi kuadrat :
a X 2 + b Y 2  + c X + d Y + p X Y + e = 0   
dimana    a  atau  b ¹ 0
sebuah fungsi kuadrat jika mempunyai ciri-ciri berikut ini maka :
Jika     p = 0     dan     a = b ¹ 0                        bentuk kurvanya Lingkaran
p 2 – 4 a b < 0 ; a ¹ b dan tanda sama             bentuk kurvanya Elips
p 2 – 4 a b > 0 ; a & b tanda berlawanan     bentuk kurvanya Hiperbola
p 2 – 4 a b = 0                                                 bentuk kurvanya Parabola
berati jika salah satu saja yaitu jika a = 0  atau  b = 0 tetapi tidak keduanya, maka kurvanya akan berbentuk Parabola

A.    LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat.
            Bentuk umum persamaan lingkaran :
            a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0
Lalu ubah bentuk persamaan menjadi             ( X – i ) 2 + ( Y – j ) 2 = r 2
Dimana:    i =   ;        j =       dan        r  = 
Maka i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu Y
             j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu X
             r = jari-jari lingkaran
Lingkaran bisa digambarkan jika nilai r 2  > 0
Titik potong lingkaran pada sumbu koordinat dapat dicari dengan memisalkan masing-masing X = 0 dan Y = 0 secara bergantian.
Jika,     i > r à lingkaran tidak memotong sumbu Y
            j > r à lingkaran tidak memotong sumbu X

Contoh :
3 X 2 + 3 Y 2 – 24 X – 18 Y = 33       : 3
            X 2 + Y 2 – 8 X – 6 Y = 11
 i =  = = 4                                     j = = = 3  
dan  r  =  = =  = 6
jadi lingkaran tersebut mempunyai titik pusat pada sumbu koordinat
( 4 ; 3 ) dengan jari-jari lingkaran = 6












B.  ELIPS
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan.  Elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus. Sumbu yang panjang disebut Sumbu Mayor. Dan yang pendek disebut Sumbu Minor. Titik potong antara kedua sumbu elips tersebut merupakan pusat elips ybs.
            Bentuk Umum Persamaan Elips :         
 a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0
            dimana : a tandanya sama dengan b tetapi nilai a  b
Pusat dan jari-jari elips dirumuskan sebagai berikut :
          jika r= r maka akan menjadi lingkaran.
Contoh :
Tentukan pusat , jari-jari dan perpotongan kurva elips dengan masing-masing sumbu koordinatnya ( sumbu X dan Y ) dari persamaan elips berikut :

   8 X 2 + 2 Y 2 -  32 X - 12 Y + 18 = 0   : 2
   4 X 2 + Y 2 - 16 X - 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + Y 2 - 6 Y = - 9
4 X 2 - 16 X + k + Y 2 - 6 Y + k = - 9 + k + k
(4 X 2 - 16 X + 16) + (Y 2 - 6 Y + 9) = - 9 + 16 + 9
4 (X – 2) 2 + (Y – 3) 2 = 16     : 16
+ = 1       à           + = 1
Dengan demikian :     i = 2      dan   j = 3        r = 2  dan      r= 4
Berarti : pusat elips ada pada titik ( 2 ; 3 )
                Karena  r <  r maka sumbu mayor elips // sumbu vertikal Y
                r adalah jari-jari pendek dan radalah jari-jari panjang






Hitunglah : pada titik koordinat berapakah terjadi perpotongan kurva elips dengan sumbu X dan sumbu Y.

 













C.  HIPERBOLA
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot. Perpotongan antara sumbu-sumbu simetri (antara asimtot-asimtot) merupakan pusat hiperbola.
Bentuk umum persamaan hiperbola :
a X 2 + b Y 2 + c X + d Y + e = 0 ; dimana  a dan b berlawanan tanda
Pusat hiperbola dapat dicari dengan cara :
          dimana sumbu lintang // sumbu X
atau               dimana sumbu lintang // sumbu Y
dimana  ( i , j ) adalah koordinat titik pusat hiperbola

Jika nilai m = n maka asimtotnya akan saling tegak lurus, dan sumbu lintangnya tidak lagi sejajar salah satu sumbu koordinat, dan hiperbolanya disebut hiperbola sama sisi.

D.      PARABOLA 
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks.    Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim.

 






Persamaan parabola :        
§  y = a X 2 + b X + c  jika sumbu simetri // sumbu vertikal (sumbu y)
§  X = a Y 2 + b Y + c  jika sumbu simetri // sumbu horisontal (sumbu x)

Titik Ekstrim :
Jarak titik ekstrim              Jarak titik ekstrim
Pada sumbu Y                             pada sumbu X

Contoh: Tentukan titik ekstrim dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu x dan y) dari parabola berikut :
   Y = - X 2 + 6 X – 2
Sumbu simetri sejajar sumbu Y
Karena nilai  a = - 1 < 0 ; maka parabolanya menghadap ke bawah.
Titik ekstrimnya terletak di atas atau titik maksimum, dengan titik
koordinat :
     = == ( 3 , 7 )
Perpotongan dengan sumbu Y terjadi pada saat  X = 0 à Y = - 2
Perpotongan dengan sumbu X terjadi pada saat  Y = 0 à
 0 = - X 2 + 6 X – 2

Dengan menggunakan rumus a b c diperoleh
 X = 5,65       dan   X = 0,35

                    y
                                               (3,7)
                        7                    


                                                                        y =  -x2  + 6x - 22
                                               
                                                x = 3                              sumbu simetri

                                                                                                                                    x
                        0      0,35            3                       5,65

                       -2

Latihan : Pada Buku Dumairy hal 141 – 142
Nomor : 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10

2.      Penerapan Ekonomi Fungsi Non-linier
A.      Fungsi Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar

 


                                                            Analisisnya sama dengan persamaan
                                                      Linier, hanya bentuk fungsinya tidak
Qd
 
                                                      Linier.

 



Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan        ®            Q d  = 19 – P 2
                                    Q s  = - 8 + 2 P 2
Ø  Berapa harga keseimbangan dan jumlah barang keseimbangan ?
Jawab :      titik Keseimbangan  terjadi pada saat   Q d   =  Q s
   19 – P 2 = - 8 + 2 P 2
              19 + 8  = 2 P 2  + P 2
                                                            27 = 3 P 2
P 2  = 9 ® P = Ö 9 = ± 3
   Jika nilai P = 3 à   Q = 19 – P 2 = 19 – 3 2  = 19 – 9 = 10
Jadi harga yang terjadi pada titik keseimbangan Rp 3,00 dan jumlah permintaan pada titik keseimbangan 10 unit.
Ø   Jika dikenakan pajak  spesifik ( pajak tetap ) sebesar  t = 1
Ø   Berapa harga dan jumlah barang pada titik keseimbangan?
    Fungsi penawaran setelah pajak     Q s  = - 8 + 2 ( P – t ) 2
  Q s  = - 8 + 2 ( P – 1) 2
                                                  Q s  = - 8 + 2 ( P 2  – 2 P + 1 )
                                                     Q s  = - 8 + 2 P 2  – 4 P + 2
                                                   Q s  = - 6 + 2 P 2  – 4 P
Titik keseimbangan setelah kena pajak   ® Q d   =  Q s yg baru     
   19 – P2  = - 6 + 2 P2  – 4 P
              0 = 2 P2  + P2  – 4 P – 6 – 19
              0 = 3 P2  – 4 P – 25            ® 3 P2  – 4 P – 25 = 0
Untuk mencari nilai  P  gunakan rumus abc ® X 12 =
P12 =      ®   P12 =

P12 = ®   P12 =     ® P1 = = 3,63 (yang dipilih)
        ® P2 = = - 2,2967
Q d  = 19 – P 2 = 19 – ( 3,63 ) 2 = 19 – 13,1769 = 5,8231  6
Jadi harga keseimbangan setelah ada pajak Rp. 3,63 dan jumlah permintaan setelah ada pajak 6 unit

B.      Penerapan Fungsi non-linier dari Fungsi Biaya
Bentuk non-linier  dari fungsi biaya ® Fungsi Parabola
    ® Fungsi Kubik
Ø  Biaya Tetap ( FC )                  = konstanta
Ø  Biaya Variabel  ( VC )             = f ( Q )
Ø  Biaya Total  ( TC )    ®   C    = FC + VC = k + f ( Q )
Ø  Biaya Marginal =
a).   Fungsi Biaya Total ® TC = a Q 2 – b Q + c ® Fungsi Parabola
 










b).  Fungsi Biaya Total ® TC = a Q 3 – b Q 2 + c Q + d ® Fungsi Kubik
                       
 





Kasus : Biaya total     TC = 2 Q 2 –  24 Q + 102  Parabola
Ø  Pada tingkat produksi berapa unit, biaya total ini minimum ?
Ø  Hitung biaya total minimum ?
Ø  Hitung biaya tetap, biaya variabel, biaya rata-rata, Biaya tetap      rata-rata, biaya variable rata-rata ?
Ø  Jika produksi dinaikkan sebesar 1 unit, berapa besarnya biaya marginal ?
* TC minimum  titik ekstrim parabola
      Q pada TC minimum = =  = = 6 unit
* TC (Biaya Total) pada produksi minimum  = 2 Q 2 – 24 Q +102
                                                                                =  2 (6) 2 – 24 (6) + 102 = 30
* TC minimum  pada ordinat titik ekstrim parabola.
      TC total minimum = =  = 30
      Pada Q = 6
      FC = 102
      VC = 2Q 2 – 24Q = 2 ( 6 ) 2 – 24 ( 6 ) = - 72

C.      Fungsi Penerimaan, Keuntungan dan Kerugian serta Titik Impas dari Fungsi Non-linier
Fungsi penerimaan  bentuk umum  fungsi parabola menghadap    ke bawah pada Produsen di pasar monopoli.
Sedang bentuk fungsi penerimaan akan linier untuk produsen di pasar persaingan sempurna

TR = Q X P = f (Q)  total penerimaan
 = AR rata-rata penerimaan
 = MR  penerimaan marginal




 













Dimana T I = titik impas
Besar kecilnya keuntungan diperlihatkan oleh besar kecilnya selisih, positif antara TR dan C
Keuntungan maximum tidak selalu terjadi pada saat TR maksimum.
     
Contoh:  Fungsi permintaan yang dihadapi seorang produsen monopolis
P = 30 – 1,5 Q.
Ø  Bagaimana persamaan penerimaan totalnya ?
Ø  Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum dan berapa besarnya penerimaaan total ?

TR = Q x P = Q x ( 30 – 1,5 Q ) = 30 Q – 1,5 Q 2  parabola

TR Maksimum pada titik ekstrim parabola

TR Maks pada Q =  =  =  = 10
TR Maks  30 Q – 1,5 Q 2                                                                                                                                               
30 (10) – 1,5 (102) = 300 – 150 = 150 à bisa juga dari rumus ()
Ø  Jika biaya total diperlihatkan oleh TC = 0,25 Q 3  – 3 Q 2  + 7Q + 20
Hitunglah ke an perusahaan, jika terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.
*  = TR  - TC
* = ( 30 Q – 1,5Q 2 ) – ( 0,25 Q 3 – 3 Q 2 + 7Q + 20 )
*  = 30 Q – 1,5 Q 2 - 0,25 Q 3 + 3 Q 2 - 7Q – 20
*  = - 0,25 Q 3 + 1,5 Q 2 + 23 Q – 20

Pada saat Q = 10              *= - 0,25 (10) 3 + 1,5 (10) 2 + 23 (10) – 20
            **= - 250 + 150 + 230 – 20
            **= 110
Ø  Jadi keuntungan perusahaan, jika barang terjual sebanyak 10 unit adalah sebesar Rp. 110,00
Pada saat Q = 20     *= - 0,25 (20) 3 + 1,5 (20) 2 + 23 (20) – 20
         **= - 2000 + 600 + 460 – 20
         **= - 960
Ø  Jadi perusahaan jika barang terjual sebanyak 20 unit, maka perusahaan akan rugi sebesar Rp. 960,00

D.     Fungsi Eksponensial

E.   Kurvanya ada di kuadran I dan II pada sistem koordinat

Bentuk sederhana :  y = n x                n > 0
Bentuk umum :  n e k x + C    n 0               k,c =  konstanta
Kurvanya  asimtotik terhadap garis y = c
Titik potong kurva eksponensial =  y = n e k x + C
 







Pada sumbu x   {   ln  ; 0 }  dimana y = 0
Pada sumbu y  { 0 ; n + c } dimana x = 0
Contoh :   -   Tentukan titik potong kurva ekponensial y = 2 e 0,5 x  – 4   pada          masing-masing sumbu koordinat dan gambarkan kurvanya
                   -   Hitunglah f (3)
Titik potong sumbu x   l n  = 2 ln  = 2 (0,69) = 1,39.
Titik potong sumbu y  n + c = 2 – 4 = - 2
Nilai f (3) à X = 3  y = 2 e 0,5 (3) – 4  y = 2 e 1,5 – 4
   y = 2 (4,48) – 4 = 4,96
 






- 2
 






E.      Fungsi Logaritmik
Merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, yang variable bebasnya merupakan bilangan logaritma
Bentuk sederhana : y =  n log x                      n > 0
                                                                       n 0
Bentuk umum : y = a ln (1+x) + b     x > -1
Kurvanya ada disebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x = -1
Titik potong dengan sumbu –x ; y = 0  { e – () – 1 ; 0 }
Titik potong dengan sumbu – y ; x = 0  { 0 ; b }
 






latihan : Tentukan titik potong kurva logaritmik y = 2 ln ( 1 + x ) + 6
            Hitunglah f (4)

Ø  Penerapan Ekonomi Fungsi  Eksponensial Dan Fungsi Logaritmik

Biasanya digunakan untuk menganalisis masalah pertumbuhan. Meskipun demikian kurva permintaan, penawaran, biaya dan penerimaan juga bisa dianalisis dengan fungsi ekponensial dan fungsi logaritmik  Untuk itu analisisnya sama dengan fungsi linier yang berbeda hanya bentuk fungsinya saja.
a)      Model Bunga Majemuk : Fn = P ( 1 + ) m.n  merupakan fungsi     eksponsial.
Fn = jumlah pinjaman / tabungan
P   = jumlah pada tahun awal ( ke nol )
i     = Hitungan bunga per tahun
m   = frekuensi pembayaran per tahun
n    = jumlah tahun
Jika bunga diperlakukan harian (m = 360) maka model tersebut menjadi:   
      Fn = Pe m                          e 2,7278

Contoh kasus:

Seorang ibu rumahtangga meminjam uang Rp. 5 juta pada seorang pelepas uang untuk jangka waktu 2 tahun . bunga setingkat 10% per tahun diperhitungkan secra harian (dalam bisnis: 1 tahun = 360 hari). Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh debitor pada saat hutangnya jatuh tempo.
1.      Dengan rumus bunga majemuk biasa: Fn   ) mn
a)      Tanpa menggunakan logaritma:
F2           = 5.000.000  )360x2
            = 5.000.000 (1,0003) 720            
                        = 5.000.000 (1,24) = 6.200.000


b)      Dengan menggunakan logaritma:
F2           = 5.000.000 (1,0003) 720
Log F2                  = 5.000.000 + 720 log 1,0003
Log F= 6,70 + 0,09
Log F= 6,70        F2 = 6.200.000
2.      Dengan rumus bunga majemuk biasa: Fn    Pe in
a)      Tanpa menggunakan logaritma:
F2   5.000.000 0,10 x 2
  5.000.000 0,20   5.000.000 (1,22)   6.100.000
b)      Dengan menggunakan logaritma:
F2   5.000.000 0,20
ln F2   In 5.000.000 + 0,20 ln 
ln F2   In 15,42 + 0,20
F2 = 15,62             F2 = 6.100.000
Jadi, jumlah pelunasan hutang tersebut adalah sekitar Rp. 6, 10 juta atau tepatnya Rp. 6,20 juta.

b)      Model pertumbuhan
Pt = P1 R t -1                 R = 1 + r
Pt = jumlah penduduk pada periode ke t
P1 = jumlah penduduk pada periode ke 1

Contoh kasus :
      Lembaga penelitian ekonomi nasional memulai operasinya dengan 10 orang peneliti. Setiap tahun setiap peneliti merekrut 2 orang peneliti baru. Berapa orang jumlah tenaga peneliti di lembaga tersebut setelah beroperasi 5 tahun ?
N1 = 10
R = 1 + 2
T = 5
Nt = N1 .
N= (10)
      = (10)(81) = 810 orang
DAFTAR PUSTAKA

Dumairy. 2011. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta.
Siswanto. 2010. Algoritma dan Struktur Data Non Linear Dengan Java. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Bandung Arry Sanjoyo dkk. Matematika Bisnis dan Manajemen. Jakarta: Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan.